Uma forma de analisar uma economia em setores é por meio do modelo de Leontief. Esse modelo pode ser escrito na forma do sistema linear (I−C)x = de, e em que C é uma matriz quadrad

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comentário: O modelo de Leontief é um importante instrumento na análise econômica que utiliza uma abordagem matricial para descrever as interações entre setores de uma economia. A equação principal do modelo é dada por:

\( (I - C)x = d_e \)

onde:

• I é a matriz identidade,
• C é a matriz de consumo,
• x é o vetor que representa a quantidade produzida de produtos, e
• d_e é o vetor de demanda externa.

Considerando a matriz de consumo especificada como:

\( C = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \)

e um vetor de demanda externa:

\( d_e = \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix} \)

ambos com entradas positivas, podemos resolver o sistema para encontrar a quantidade produzida, x.

Ao rearranjar a equação inicial, temos:

\( x = (I - C)^{-1} d_e \)

Agora, precisamos calcular a inversa de \( I - C \), que é dada por:

\( I - C = \begin{pmatrix} 1-a & -c \\ -b & 1-d \end{pmatrix} \)

O determinante deste matrix é:

\( \text{det}(I - C) = (1-a)(1-d) - bc \)

Portanto, para que a inversa exista, é necessário que:

\( (1-a)(1-d) - bc \neq 0 \)

Ao calcular a inversa, obtemos:

\( (I - C)^{-1} = \frac{1}{(1-a)(1-d) - bc} \begin{pmatrix} 1-d & c \\ b & 1-a \end{pmatrix} \)

Substituindo a inversa na equação de x, chegamos à expressão correta:

\( x = \frac{1}{(1-a)(1-d) - bc} \begin{pmatrix} (1-d)e + bf \\ ce + (1-a)f \end{pmatrix} \)

Essa formulação é válida desde que o determinante não seja zero, ou seja, o gabarito está CERTO. Isso assegura que as condições do modelo de Leontief são atendidas e que as quantidades produzidas podem ser calculadas adequadamente.