Questão FC86736
Uma forma de analisar uma economia em setores é por meio do modelo de Leontief. Esse modelo pode ser escrito na forma do sistema linear (I−C)x = de, e em que C é uma matriz quadrad
Matrizes
CEBRASPE (CESPE) · 2022
e em que C é uma matriz quadrada chamada de matriz de consumo, de é chamado de vetor de demanda externa e o vetor x corresponde à quantidade produzida de produtos nessa economia. Considerando uma matriz de consumo
Se a soma das entradas de cada uma das colunas de C for menor, que 1, então a matriz I - C será inversível.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: O modelo de Leontief se baseia na análise de uma economia em setores, onde utilizamos a relação
\( (I - C)x = d_e \). Aqui, C é a matriz de consumo e d_e representa o vetor de demanda externa. Quando afirmamos que a soma das entradas de cada coluna da matriz C é menor que 1, estamos testando a estabilidade econômica do sistema.
A condição de que a soma das entradas de cada coluna de C seja menor que 1 nos dá uma pista importante: se essa soma for menor que 1, isso implica que, para cada setor, a quantidade produzida não apenas atende à demanda interna, mas também deixa uma sobra de produção.
Suponha que o vetor de produção seja x. O resultado da multiplicação \( Cx \) mostra a quantidade de insumos que cada setor consome. Com a soma das colunas de C menor que 1, temos que \( Cx < x \). Rearranjando essa desigualdade, chegamos a:
\( (I - C)x > 0 \).
Isso indica que existe um vetor x positivo que satisfaz a equação, o que nos assegura que a matriz \( I - C \) é inversível.
Além disso, por propriedades de matrizes, se as linhas da matriz de consumo têm somas menores que 1, isso garante a estrutura de \( (I - C)^{-1} \). Por simetria, temos que a inversibilidade de \( I - C \) pode ser também deduzida para a matriz transposta \( I - C^T \), garantindo a estrutura inversível. Portanto, podemos concluir que a afirmação é correta e temos:
Gabarito: CERTO.
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