Questão FC86738
Uma distribuidora de derivados de petróleo adotou uma codificação para a identificação de seus produtos, garantindo, assim, a possibilidade de verificação de procedência. A identif
Matrizes
CEBRASPE (CESPE) · 2022
onde x,y e z são números reais. Observe que (A,B,C) e (D,E,F) se e pertencem a W, então tanto (A+D, B+E, C+F) como (mA,mB,mC) pertencem a W, para qualquer, número real.
Com base nessas informações, julgue o item seguinte.
Existem dois vetores (a,b,c) e (x,y,z) em W, tais que (a,b,c) ≠ (mx,my,mz) para qualquer valor m, com m um número real.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Neste item, a afirmação é que existem dois vetores (a,b,c) e (x,y,z) no conjunto W tal que (a,b,c) ≠ (mx,my,mz) para qualquer valor de m, onde m é um número real. Esta afirmação é ERRADA.
Para entender por que, precisamos analisar a equação matricial que define o conjunto W. A equação é da forma:
\[\begin{bmatrix}2 & 9 & -7 \\-1 & -2 & 1 \\3 & 1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\y \\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\0 \\0\end{bmatrix}\]Essa equação resulta em um sistema que nos dá soluções do tipo (x, 5x, x), que representam todos os vetores do conjunto W.
Agora, digamos que temos dois vetores de W, (x_1, 5x_1, x_1) e (x_2, 5x_2, x_2), onde x_1 e x_2 são números reais diferentes. Se tentarmos expressar um vetor em termos do outro, podemos fazer isso definindo m = x_1/x_2. Assim, teremos:
\[(m x_2, 5 m x_2, m x_2) = \left(x_1, 5 x_1, x_1\right)\]Isso demonstra que, para um valor específico de m, os dois vetores se tornam iguais, ou seja, (a,b,c) = (mx,my,mz).
Dessa forma, a afirmação de que os vetores são distintos para qualquer m é falsa, pois sempre podemos encontrar um valor de m que iguala os dois vetores.
Portanto, a afirmativa é ERRADA.
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