Com relação a matrizes e sistemas lineares, julgue o item a seguir. Considere que uma matriz quadrada R seja a raiz quadrada de uma matriz M, de mesma dimensão, que satisfaça a equ

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Comentário: A afirmação de que a matriz \( M \) tem infinitas raízes quadradas está ERRADA. Vamos analisar o porquê de forma didática.

Consideremos a matriz dada como:

\( M = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \)

Queremos encontrar uma matriz \( R \) que satisfaça a equação:

\( RR = M \)

Vamos representar \( R \) genericamente como:

\( R = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix} \)

Esse formato nos ajuda, pois a multiplicação de duas matrizes diagonais preserva essa estrutura:

\( RR = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & d^2 \end{pmatrix} \)

Para que \( RR = M \), a partir da igualdade acima, obtemos o sistema de equações:

• \( a^2 = 9 \)
• \( d^2 = 4 \)

Resolvendo as equações, temos:

• Para \( a^2 = 9 \), temos duas soluções: \( a = 3 \) ou \( a = -3 \).
• Para \( d^2 = 4 \), temos duas soluções: \( d = 2 \) ou \( d = -2 \).

Assim, as possíveis matrizes \( R \) que satisfazem a equação \( RR = M \) são:

\( R_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \) , \( R_2 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \) , \( R_3 = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \) , \( R_4 = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \).

Entretanto, ao verificarmos cada combinação de sinais, notamos que somente as combinações de \( a \) e \( d \) como \( 3, 2 \) ou \( -3, -2 \) satisfazem efetivamente a equação \( RR = M \). Contudo, cada combinação resulta em apenas duas matrizes distintas em relação à estrutura diagonal resultando em 4 variações, mas elas não são consideradas "infinitas".

Dessa forma, concluímos que a matriz \( M \) não possui infinitas raízes quadradas, refutando assim a afirmação inicial.