Questão FC86741
Com relação a matrizes e sistemas lineares, julgue o item a seguir. Sendo A uma matriz quadrada de dimensão n que satisfaz a equação matricial A2 + 2A + In = 0, em que In é a matri
Matrizes
CEBRASPE (CESPE) · 2021
Sendo A uma matriz quadrada de dimensão n que satisfaz a equação matricial A2 + 2A + In = 0, em que In é a matriz identidade de dimensão n, então, a matriz A é inversível.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: A afirmativa é CERTA e podemos justificar isso através de duas abordagens: a reformulação da equação e o uso de determinantes.
Primeira abordagem: vamos reescrever a equação dada.
Temos a equação matricial:
A^2 + 2A + I_n = 0.
Se rearranjarmos, podemos obter:
I_n = -A^2 - 2A.
Multiplicando ambos os lados por \( A \), temos:
A I_n = A(-A - 2I_n), que simplifica para:
A = -A^2 - 2A.
Isso indica que podemos expressar a matriz identidade como um produto envolvendo \( A \), o que sugere que \( A \) é inversível, pois pode-se encontrar uma matriz que, multiplicada por ela, gera a matriz identidade.
Segunda abordagem: vamos aplicar a propriedade dos determinantes. Reescrevendo a equação:
A(A + 2I) = -I.
Agora, tomando o determinante dos dois lados, temos:
det(A(A + 2I)) = det(-I).
Utilizando a propriedade que afirma que o determinante do produto é o produto dos determinantes, obtemos:
det(A) \cdot det(A + 2I) = 1.
Uma vez que o produto dos determinantes é igual a 1, isso implica que nenhum dos determinantes pode ser zero. Portanto, concluímos que det(A) \neq 0, o que significa que a matriz \( A \) é inversível.
Atenção: Um erro comum é supor que se \( A^2 + 2A + I_n = 0 \), então \( A + I_n = 0 \) é verdadeiro. Isso não se sustenta, pois a existência de um quadrado que resulta na matriz nula não deve ser confundida com a matriz original sendo nula. Um exemplo simples são matrizes de ordem maior que \( 1 \) que Quadrados são nulos, mas não são nulos.
Portanto, a matriz \( A \) é, de fato, inversível.
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