Questão FC86742
Uma distribuidora de derivados de petróleo adotou uma codificação para a identificação de seus produtos, garantindo, assim, a possibilidade de verificação de procedência. A identif
Determinantes
CEBRASPE (CESPE) · 2022
onde x,y e z são números reais. Observe que (A,B,C) e (D,E,F) se e pertencem a W, então tanto (A+D, B+E, C+F) como (mA,mB,mC) pertencem a W, para qualquer, número real.
Com base nessas informações, julgue o item seguinte.
O determinante da matriz 3x3 dos coeficientes da equação matricial é diferente de zero.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A afirmação de que "o determinante da matriz 3x3 dos coeficientes da equação matricial é diferente de zero" está ERRADA
Para entender por que isso ocorre, devemos analisar a matriz de coeficientes dada na equação matricial:
\[\begin{pmatrix}2 & 9 & -7 \\-1 & -2 & 1 \\3 & 1 & 2 \end{pmatrix}\]
Calculando o determinante dessa matriz, temos:
\[\text{det} = 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 1 \cdot 9 \cdot 1 + 3 \cdot (-7) \cdot (-1) - (3 \cdot (-2) \cdot (-7)) - (2 \cdot 9 \cdot 1) - (1 \cdot (-2) \cdot 2) \]
O que resulta em:
\[\text{det} = -8 + 9 + 21 - 42 - 18 + 4 = 0 \]
Assim, como o determinante é zero, isso indica que a matriz não é invertível e, portanto, possui um espaço nulo de soluções não triviais.
Como resultado, existem infinitas soluções para a equação associada, implicando que é possível ter combinações de vetores da forma \((A + D, B + E, C + F)\) e também \((mA, mB, mC)\) pertencentes a \(W\).
Essa propriedade é uma característica de sistemas subdeterminados, ou seja, com mais variáveis do que equações, e é um fator crucial para concluir que o determinante não é diferente de zero. Portanto, o item está ERRADO.
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