Questão FC86743
Julgue o seguinte item, a respeito de determinantes e sistemas lineares. Para que a matriz não seja singular, é necessário que.
Determinantes
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Para que a matriz
não seja singular, é necessário que.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para que a matriz apresentada não seja singular, é essencial que o seu determinante seja diferente de zero. Ou seja, precisamos cumprir a condição:
\(\text{det} \begin{pmatrix}1 & -1 & \alpha \\0 & 1 & 1 \\\alpha & -2 & 1 \end{pmatrix} \neq 0\)
Ao calcular o determinante desta matriz 3x3, utilizamos a regra de Sarrus ou a fórmula do determinante para matrizes de ordem 3. O que resulta em:
\(\text{det} = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot (-2)) - (-1) \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot \alpha) + \alpha \cdot (0 \cdot (-2) - 1 \cdot \alpha)\)
Simplificando, obtemos:
\(= 1(1 + 2) + \alpha \cdot \alpha\)
\(= 3 + \alpha^2 - \alpha\)
Para que essa expressão seja diferente de zero, devemos assegurar que:
\(\alpha^2 - \alpha + 3 \neq 0\)
Substituindo em uma equação quadrática e determinando as raízes, encontramos o discriminante \( \Delta \) como:
\(\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11\)
Como o discriminante é negativo, isso indica que a equação não possui raízes reais, ou seja, a condição \( \alpha^2 - \alpha + 3 \) nunca será igual a zero para qualquer valor de \( \alpha \). Portanto, podemos concluir que a matriz é sempre não singular para qualquer \( \alpha \), confirmando que o item está CERTO.
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