Questão FC86744
Julgue o seguinte item, a respeito de determinantes e sistemas lineares. Considere-se v ∈ Rn, A ∈ Rnxn e a matriz M ∈ Rnxn cujas entradas sejam dadas da seguinte forma: mijaij, par
Determinantes
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Considere-se v ∈ Rn, A ∈ Rnxn e a matriz M ∈ Rnxn cujas entradas sejam dadas da seguinte forma: mijaij, para todo i ∈ {1,2,3,⋯, n} e j ∈ {1,3,4,⋯,n}, e mi2 = ai2 +vi, i ∈ {1,2,3,⋯,n}. Nesse caso, é correto concluir que det(M) = det(A) + |v|, em que
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A afirmação de que \( \text{det}(M) = \text{det}(A) + |v| \) é ERRADA e isso pode ser justificado com algumas considerações fundamentais sobre determinantes e a forma como a matriz \( M \) é construída a partir da matriz \( A \).
Considere que a matriz \( M \) se diferencia da matriz \( A \) apenas na segunda coluna, que é a soma da segunda coluna de \( A \) com o vetor \( v \). Essa alteração não garante que o determinante de \( M \) seja simplesmente a soma do determinante de \( A \) com uma norma do vetor \( v \).
Em particular, a adição de um vetor \( v \) à uma coluna de uma matriz não resulta em uma relação de soma direta entre os determinantes. O determinante depende da combinação linear das colunas da matriz, e a manipulação de uma coluna altera a estrutura que define o determinante de maneira mais complexa.
Para ilustrar isso, podemos considerar um exemplo simples:
Seja \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \). O determinante aqui é \( \text{det}(A) = 1 \). Agora, deixe \( v = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \). Portanto, a matriz \( M \) será:
\( M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \).
Calculando o determinante: \( \text{det}(M) = (1)(3) - (1)(0) = 3 \). Observamos que, neste caso:
\( |v| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \). Assim, \( \text{det}(M) \neq \text{det}(A) + |v| \), pois \( 3 \neq 1 + \sqrt{5} \).
Deste modo, a relação proposta no enunciado não se sustenta e, portanto, a conclusão de que \( \text{det}(M) = \text{det}(A) + |v| \) é falsa.
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