Questão FC86745
Com relação a matrizes e sistemas lineares, julgue o item a seguir. Considere que A seja uma matriz quadrada de dimensão 2, que I2 seja a matriz identidade, também de dimensão 2, e
Determinantes
CEBRASPE (CESPE) · 2021
Considere que A seja uma matriz quadrada de dimensão 2, que I2 seja a matriz identidade, também de dimensão 2, e que x ϵ R. Nesse caso, o determinante da matriz det (A − xI2) = x2 − tr (A)x + det(A).
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar o item proposto, onde temos uma matriz quadrada A de dimensão 2 e a matriz identidade I2 também de dimensão 2. A afirmação diz que o determinante da matriz det(A - xI2) é igual a \(x^2 - \text{tr}(A)x + \text{det}(A)\). Vamos entender como chegamos a essa expressão.
Primeiro, definimos a matriz A como:
\[A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\]Então, subtraímos xI2 de A:\[A - xI_2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - x & b \\ c & d - x \end{pmatrix}\]
Agora, precisamos calcular o determinante dessa nova matriz. O determinante é calculado por meio do produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos fora da diagonal:\[\text{det}(A - xI_2) = (a - x)(d - x) - (b \cdot c) = ad - ax - dx + x^2 - bc\]
Reorganizando os termos, obtemos:\[\text{det}(A - xI_2) = x^2 - (a + d)x + (ad - bc)\]
Aqui, tr(A) é a soma dos elementos da diagonal principal, ou seja, \( \text{tr}(A) = a + d \), e o determinante de A é dado por \( \text{det}(A) = ad - bc \). Assim, podemos reescrever:\[\text{det}(A - xI_2) = x^2 - \text{tr}(A)x + \text{det}(A)\]
Portanto, confirmamos que a afirmação é verdadeira.
Em resumo, a relação é uma forma comum de representar a dependência do determinante em relação a um parâmetro escalar x, e essa expressão é fundamental em muitos contextos da álgebra linear, como na análise de autovalores.
Portanto, o gabarito é CERTO.
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