Questão FC86746
Considerando as matrizes A e B com coeficientes reais dadas por e , julgue o item a seguir. Se det(AB) = 0, então o módulo de x é igual a 1, isto é, |x| = 1.
Determinantes
CEBRASPE (CESPE) · 2021
e 
, julgue o item a seguir.Se det(AB) = 0, então o módulo de x é igual a 1, isto é, |x| = 1.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: A afirmação de que det(AB) = 0 implica que o módulo de x é igual a 1, ou seja, |x| = 1, é CERTA e pode ser explicado da seguinte maneira:
Para começar, segundo o Teorema de Binet, temos que:
\(det(AB) = det(A) \cdot det(B)\)
Dessa forma, se det(AB) = 0, pelo menos um dos determinantes deve ser nulo, seja det(A) = 0 ou det(B) = 0.
Agora, vamos analisar as matrizes A e B dadas. Se calcularmos o determinante de A e encontrarmos que ele é diferente de zero, então precisamos que det(B) = 0 para que o produto dos determinantes também seja zero.
Suponha que, ao calcularmos det(A), chegamos a um resultado que nos diz que det(A) \neq 0. Portanto, a nulidade de det(AB) deve ocorrer por det(B) = 0.
Calculando o determinante de B e resolvendo a equação correspondente até encontrarmos que:
\(6(x^2 - 1) = 0\)
Obtemos:
\(x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\)
Assim, o módulo de x se transforma em:
\(|x| = 1\)
Concluindo, a afirmação de que se det(AB) = 0, então |x| = 1, é validada através da análise dos determinantes e do raciocínio lógico envolvendo suas propriedades. Portanto, o gabarito está CERTO.
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