Considerando as matrizes A e B com coeficientes reais dadas por e , julgue o item a seguir. O sistema linear dado por tem solução para qualquer valor real de x.

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comentário: Para determinar se o sistema linear dado tem solução para qualquer valor real de x, devemos analisar a matriz dos coeficientes, que é a matriz A. Calculamos o determinante de A para verificar se ele é diferente de zero. Assim, vamos considerar a matriz:

A =\(\begin{pmatrix}3 & 1 & 1 \\-1 & x & 2x \\x & 3 & 6\end{pmatrix}\)

Agora, precisamos calcular o determinante de A:

\(|A| = 3 \cdot | \begin{pmatrix} x & 2x \\ 3 & 6 \end{pmatrix} | - 1 \cdot | \begin{pmatrix} -1 & 2x \\ x & 6 \end{pmatrix} | + 1 \cdot | \begin{pmatrix} -1 & x \\ x & 3 \end{pmatrix} |\)

Calculando os determinantes das submatrizes:

• \(| \begin{pmatrix} x & 2x \\ 3 & 6 \end{pmatrix} | = x \cdot 6 - 2x \cdot 3 = 6x - 6x = 0\)
• \(| \begin{pmatrix} -1 & 2x \\ x & 6 \end{pmatrix} | = -1 \cdot 6 - x \cdot 2x = -6 - 2x^2\)
• \(| \begin{pmatrix} -1 & x \\ x & 3 \end{pmatrix} | = -1 \cdot 3 - x \cdot x = -3 - x^2\)

Substituindo os resultados na formula do determinante:

\[|A| = 3 \cdot 0 - 1(-6 - 2x^2) + 1(-3 - x^2) = 6 + 2x^2 - 3 - x^2\]

Assim, temos:

\(|A| = 3 + x^2\)

Como x é um número real, \(x^2\) é sempre maior ou igual a zero, então \(3 + x^2 > 0\) para qualquer valor de x. Portanto, o determinante nunca será zero.

Logo, isso implica que a matriz A é *invertível*, e, portanto, o sistema linear sempre terá uma única solução para qualquer valor real de x.

Assim, concluímos que o item está CERTO.