Julgue o item a seguir, relacionado a álgebra e a probabilidade. Se A é uma matriz quadrada e se o sistema linear Ax = 0 tem infinitas soluções, então o sistema linear não-homogêne

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A assertiva é ERRADA porque o fato de o sistema \(Ax=0\) ter infinitas soluções implica apenas que a matriz \(A\) é singular, isto é, o núcleo (nulidade) de \(A\) é não trivial. Isso garante existência de vetores não nulos \(v\) com \(Av=0\), mas não assegura que qualquer vetor \(b\neq0\) pertença à imagem de \(A\).

Em termos gerais, se o sistema \(Ax=b\) for consistente, seu conjunto de soluções é um ponto particular mais o subespaço nulo, portanto será infinito quando a nulidade for positiva. entretanto, se \(b\) não pertence ao espaço coluna de \(A\), o sistema é inconsistente e não tem solução.

Exemplo simples: \(A=\begin{pmatrix}2&1\\4&2\end{pmatrix}\) tem núcleo não trivial, mas com \(b=(0,1)\) obtém-se o sistema \(\{2x+y=0,\;4x+2y=1\}\), que leva a \(0=1\), logo sem soluções. Portanto não se pode afirmar que \(Ax=b\) terá infinitas soluções.