Questão FC86751
Julgue o seguinte item, a respeito de determinantes e sistemas lineares. Considerando-se uma matriz A ∈ Rmxn, um vetor x ∈ Rn e b ∈ Rm, se m < n, então o sistema linear A x = b nun
Sistemas Lineares
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Considerando-se uma matriz A ∈ Rmxn, um vetor x ∈ Rn e b ∈ Rm, se m < n, então o sistema linear A x = b nunca terá solução.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: O item apresentado está ERRADO. Vamos entender por que isso acontece.
Quando temos uma matriz \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\) com \(m < n\), isso significa que temos **menos equações do que variáveis**. Nesse caso, o sistema \(Ax = b\) pode ter soluções, e, frequentemente, ele terá infinitas soluções, conforme ilustrado abaixo.
Por exemplo, considere uma matriz \(A\) de dimensão \(2 \times 3\), como:
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}
e um vetor \(b\) dado por b = \begin{pmatrix} 10 \\ 30 \end{pmatrix} . O sistema fica assim:
Ax = b
onde:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 30 \end{pmatrix}
A primeira equação gerada seria:
1x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 10
e a segunda:
4x_1 + 5x_2 + 6x_3 = 30 .
Observamos que temos duas equações, mas três variáveis, o que indica que este sistema possui a liberdade para várias combinações de \(x_1\), \(x_2\) e \(x_3\) que satisfazem as equações.
Assim, sempre que tivermos mais variáveis do que equações, o sistema não é determinado, podendo apresentar **soluções infinitas**. Portanto, a afirmação inicial de que não haveria solução é incorreta.
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