Questão FC86752
Julgue o seguinte item, a respeito de determinantes e sistemas lineares. O espaço solução do sistema linear x+z+K = 0 y+w = 0 x+y+z+w = 0 y+z+w+K = 0 z+w = 0 é um conjunto de cardi
Sistemas Lineares
CEBRASPE (CESPE) · 2022
O espaço solução do sistema linear
x+z+K = 0
y+w = 0
x+y+z+w = 0
y+z+w+K = 0
z+w = 0
é um conjunto de cardinalidade infinita.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar o sistema linear dado para determinar a veracidade da afirmação sobre o espaço solução. O sistema é composto pelas seguintes equações:
1. \( x + z + K = 0 \)
2. \( y + w = 0 \)
3. \( x + y + z + w = 0 \)
4. \( y + z + w + K = 0 \)
5. \( z + w = 0 \)
Começamos simplificando as equações. Subtraindo a equação 1 da equação 3, obtemos:
\( (x + y + z + w) - (x + z + K) = 0 \)
que simplifica para:
\( y + w - K = 0\)
Como sabemos que da equação 2 temos que \( y + w = 0 \), substituindo na equação acima ficamos com:
\( 0 - K = 0 \), ou seja, \( K = 0 \).
Com \( K = 0 \), nosso sistema reduz-se a:
1. \( x + z = 0 \)
2. \( y + w = 0 \)
3. \( x + y + z + w = 0 \)
4. \( y + z + w = 0 \)
5. \( z + w = 0 \)
Agora, analisamos essas equações. Da equação 1, temos que \( z = -x \). Substituindo \( z = -x \) nas equações 5 e 4, obtemos:
\( -x + w = 0 \implies w = x \) e \( y + (-x) + x = 0 \implies y = 0 \). Portanto,
substituindo \( w = x \) na equação 2, temos:
\( y + x = 0 \implies 0 + x = 0 \implies x = 0 \).
Se \( x = 0 \), podemos encontrar os outros valores:
\( z = 0 \), \( w = 0 \), e \( y = 0 \).
Portanto, a solução única para o sistema é:
\( (x, y, z, w, K) = (0, 0, 0, 0, 0) \).
Dessa forma, o espaço solução é o conjunto que contém apenas o vetor nulo, ou seja, é um conjunto finito com apenas um elemento. Portanto, a afirmação de que o espaço solução é um **conjunto de cardinalidade infinita** está ERRADA.
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