Questão FC86754
Sendo a unidade imaginária, um número complexo pode ter a forma retangular z = x + iy em que x e y são suas coordenadas, ou a forma polar z = r ( cos\,a + i sen\,a), em que r é o m
Números Complexos
CEBRASPE (CESPE) · 2022
a unidade imaginária, um número complexo pode ter a forma retangular z = x + iy em que x e y são suas coordenadas, ou a forma polar z = r ( cos\,a + i sen\,a), em que r é o módulo e α é o argumento.Considere dois conjuntos, A e B, dados por
Considere, ainda, as equações complexas I e II, a seguir.
I z4 - 44 =0
II z = 4eKπ4(em que K assume valores inteiros)
A partir dessas informações, julgue o item a seguir.
Multiplicando-se todos os pontos do conjunto A pelo número z1= 4(cos(π/2)+isen(π/2)), obtém-se outro conjunto, cuja área é 4 vezes maior que a área do conjunto A.
Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Para entender por que a afirmação está ERRADA, precisamos analisar a multiplicação de um número complexo por um conjunto de pontos.
O número complexo dado é z1 = 4(cos(π/2) + i sen(π/2)). Vamos avaliar este número:
Como sabemos que:
cos(π/2) = 0 e sen(π/2) = 1, podemos reescrever z1 como:z1 = 4(0 + i) = 4i, que está a uma distância de 4 unidades da origem, com um argumento de 90 graus (ou seja, está no eixo imaginário positivo).
Quando multiplicamos todos os pontos de um conjunto A por um número complexo z1, há duas operações principais que ocorrem:
1. **Multiplicação dos módulos**: A distância de cada ponto à origem é multiplicada pelo módulo de z1, que é 4, o que realmente amplia a área.
2. **Soma dos argumentos**: O ângulo de cada ponto é incrementado pelo argumento de z1, que é 90 graus, o que apenas rotaciona o conjunto.
Se considerarmos um quadrado de lado a no conjunto A, sua área é AA = a². Após a multiplicação pelo z1, o novo quadrado terá lados 4a:Anovo = (4a)² = 16a².
Portanto, a nova área será 16 vezes maior que a área original, e não 4 vezes.
Por essa razão, a afirmação de que a área é 4 vezes maior está ERRADA.
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em