Questão FC86755
Sendo a unidade imaginária, um número complexo pode ter a forma retangular z = x + iy em que x e y são suas coordenadas, ou a forma polar z = r ( cos\,a + i sen\,a), em que r é o m
Números Complexos
CEBRASPE (CESPE) · 2022
a unidade imaginária, um número complexo pode ter a forma retangular z = x + iy em que x e y são suas coordenadas, ou a forma polar z = r ( cos\,a + i sen\,a), em que r é o módulo e α é o argumento.Considere dois conjuntos, A e B, dados por
Considere, ainda, as equações complexas I e II, a seguir.
I z4 - 44 =0
II z = 4eKπ4(em que K assume valores inteiros)
A partir dessas informações, julgue o item a seguir.
Existem valores inteiros de K para os quais o número z = 4(cos(π/6)+isen(π/6)) seja solução da equação II.
Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A afirmação de que existem valores inteiros de K para os quais o número z = 4(cos(π/6) + i sen(π/6)) seja solução da equação II está ERRADA.
Para entender por que, vamos analisar as equações dadas:
A equação II é expressa como z = 4e^{Kπ/4}, onde K é um número inteiro. Essa expressão representa um número complexo na forma **exponencial**, que é a combinação de um módulo e um argumento: z = re^{iα}, onde r é o módulo e α é o argumento.
Agora, a expressão z = 4(cos(π/6) + i sen(π/6)) pode ser reescrita na forma exponencial como z = 4e^{i(π/6)}.
Se precisarmos comparar essas duas expressões, podemos igualar os módulos e os argumentos:
- O módulo em ambas as expressões é 4, o que é consistente.
- O argumento para a expressão II seria Kπ/4 e para a expressão que consideramos, seria π/6.
Dessa forma, teríamos a relação:
Kπ/4 = π/6.
Resolvendo para K:
K = (π/6) / (π/4) = 4/6 = 2/3.
Contudo, K precisa ser um número inteiro para a condição dada na questão. Como 2/3 não é inteiro, não existem valores inteiros de K que satisfaçam a condição da equação II para que z seja igual a 4(cos(π/6) + i sen(π/6)).
Portanto, a afirmação apresentada é ERRADA por não haver valores inteiros de K que satisfaçam a condição proposta.
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em