Questão FC86756
Julgue o item a seguir, relativos a números complexos. As raízes cúbicas do número complexo
Números Complexos
CEBRASPE (CESPE) · 2022
As raízes cúbicas do número complexo
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: A afirmativa está CERTA e vamos entender por quê ao calcular as raízes cúbicas do número complexo dado.
Para encontrar as raízes cúbicas de um número complexo, utilizamos a fórmula de De Moivre, que nos diz que para um número complexo na forma polar: \( z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) \), suas raízes \( w_k \) são dadas por:
\( w_k = r^{1/3} \left[ \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{3}\right) \right] \) para \( k = 0, 1, 2 \).
Aqui, r é o módulo do número complexo e \(\theta\) é o argumento. A norma \( r \) é calculada como:
\( r = \sqrt{x^2 + y^2} \), onde x e y são as partes real e imaginária do número complexo.
Para um número como \( z = -2\sqrt{3} -2i \):
- As partes são: \( x = -2\sqrt{3} \) e \( y = -2 \).
- Portanto, \( r = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4 \).
Agora precisamos calcular o argumento \( \theta \). Sabemos que o número está localizado no terceiro quadrante, onde tanto \( x < 0 \) quanto \( y < 0 \):
- Assim, podemos encontrar \( \theta \) através da relação: \( \tan(\theta) = \frac{y}{x} = \frac{-2}{-2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \), resultando em \( \theta = \frac{5\pi}{6} \) (ajustando para o terceiro quadrante).
Com isso, podemos determinar as raízes cúbicas:
- Para \( k = 0 \): \( w_0 = 4^{1/3} \left[ \cos\left(\frac{5\pi/6 + 2(0)\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi/6 + 2(0)\pi}{3}\right) \right] \)
- Para \( k = 1 \): \( w_1 = 4^{1/3} \left[ \cos\left(\frac{5\pi/6 + 2(1)\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi/6 + 2(1)\pi}{3}\right) \right] \)
- Para \( k = 2 \): \( w_2 = 4^{1/3} \left[ \cos\left(\frac{5\pi/6 + 2(2)\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi/6 + 2(2)\pi}{3}\right) \right] \).
Ao calcular, obtemos três raízes distintas, confirmando a assertiva.
Portanto, as raízes cúbicas do número complexo são, de fato, corretas, o que justifica que a assinatura é CERTA na questão proposta.
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