Questão FC86757
Julgue o item a seguir, relativos a números complexos. O número com K ∈ Z, será um número real sempre que K for um múltiplo de 3.
Números Complexos
CEBRASPE (CESPE) · 2022
O número
com K ∈ Z, será um número real sempre que K for um múltiplo de 3.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar o número dado, que é na forma \( z = (1 + \sqrt[3]{i})^k \) com \( k \in \mathbb{Z} \). O objetivo é verificar quando este número se torna um número real, ou seja, quando sua parte imaginária é igual a zero.
Primeiro, vamos entender a forma de \( z \). Para descobrir quando \( z \) será real, precisamos expressá-lo na forma exponencial, que é dada por \( z = re^{i\theta} \), onde \( r \) é o módulo (ou norma) e \( \theta \) é o argumento do número complexo.
1. **Cálculo do módulo:**
O módulo de \( z \) é \( r = |1 + \sqrt[3]{i}| \). Então, calculamos: \[ r = \sqrt{1^2 + (\sqrt[3]{1})^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}. \]2. **Cálculo do argumento:**
O argumento pode ser determinado pela tangente do ângulo formado no plano complexo. Neste caso, o argumento \( \theta \) pode ser obtido como: \[ \tan(\theta) = \frac{\text{parte imaginária}}{\text{parte real}} = \frac{1}{1} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}. \]Portanto, podemos escrever o número complexo na forma exponencial: \[ z = \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right) e^{i \frac{\pi}{4}}. \]3. **Potências inteiras de \( z \):**
Ao elevar \( z \) à potência \( k \), temos: \[ z^k = \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^k e^{i k \frac{\pi}{4}}. \]Para que \( z^k \) seja um número real, o argumento \( k \frac{\pi}{4} \) deve ser um múltiplo de \( \pi \), ou seja: \[ k \frac{\pi}{4} = n \pi \quad (n \in \mathbb{Z}). \]Isso implica que \( k = 4n \).Entretanto, como estamos interessados em \( K \) sendo um múltiplo de 3, reparamos que qualquer múltiplo de 3 satisfaz essa condição de \( k = 3m \). A cada três unidades, o argumento resulta em um múltiplo de \( \pi \), fazendo com que \( z^k \) possa ser real quando \( k \) for um múltiplo de 3.Conclusão: Portanto, sempre que \( k \) for um múltiplo de 3, o número \( z^k \) será de fato um número real. Assim, a afirmativa é CERTA.
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