Questão FC86758
Julgue o item a seguir, relativo a números complexos. ∣z−1∣ – z = x+iy z ∣ ∣ = √2 Sendo z = x+iy um número complexo, então o lugar geométrico dos números complexos z que satisfazem
Números Complexos
CEBRASPE (CESPE) · 2022
∣z−1∣ – z = x+iy z ∣ ∣ = √2
Sendo z = x+iy um número complexo, então o lugar geométrico dos números complexos z que satisfazem à equação
é uma circunferência com centro em z0 = 1+2i e raio r = 2.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a equação dada:
\( \left| z - 1 \right| - z = x + iy \) e \( \left| z \right| = \sqrt{2} \).
Sendo \( z = x + iy \), onde \( x \) e \( y \) são as partes real e imaginária de \( z \), devemos encontrar o lugar geométrico dos números complexos que a satisfazem.
Ao substituir \( z \) na equação, obtemos:
\( \left| (x + iy) - 1 \right| = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2} \).
E a parte imaginária é simplesmente \( y \). Portanto, a equação pode ser reformulada como:
\( \sqrt{(x - 1)^2 + y^2} - (x + iy) = 0 \).
Isso implica que teremos que analisar como a parte real e imaginária se relacionam; o que não resultará em uma circunferência.
Na verdade, a expressão descrita leva a uma relação complexa onde a equação não representa uma circunferência centrada em \( 1 + 2i \) e raio \( 2 \).
Após simplificações, essa equação nos levaria a um padrão diferente, que representa uma curva, e não uma circunferência. O fato de os centros e raios estarem incorretos também confirma que:
- O centro sugerido é \( z_0 = 1 + 2i \), mas a solução correta não se identifica com este ponto.
- O raio também não é \( r = 2 \) como afirmado.
Portanto, podemos concluir que o item está ERRADO, pois as características do lugar geométrico definido pela equação não correspondem a uma circunferência com o centro e raio citados na questão.
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