Questão FC86760
A respeito dos números complexos e de suas propriedades, julgue o item a seguir. Os números complexos são vértices de um triângulo equilátero.
Números Complexos
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Os números complexos
são vértices de um triângulo equilátero.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: A afirmação de que os números complexos apresentados são os vértices de um triângulo equilátero é CERTA. Para entender por que isso é verdade, devemos considerar algumas propriedades fundamentais dos números complexos e suas representações geométricas.
Primeiramente, vamos lembrar que um número complexo pode ser representado na forma \( z = a + bi \), onde \( a \) é a parte real e \( b \) é a parte imaginária. No plano complexo, esses números podem ser visualizados como pontos em um sistema de coordenadas.
Quando temos três números complexos, vamos denotar como \( z_1, z_2, z_3 \). Para que esses números formem os vértices de um triângulo equilátero, as distâncias entre eles devem ser iguais.
Calculando as distâncias, temos:
\[d(z_1, z_2) = |z_1 - z_2|, \quad d(z_2, z_3) = |z_2 - z_3|, \quad d(z_1, z_3) = |z_1 - z_3|\]
Se cada uma dessas distâncias for igual, ou seja, \( d(z_1, z_2) = d(z_2, z_3) = d(z_1, z_3) \), então \( z_1, z_2, z_3 \) formam um triângulo equilátero.
Além disso, esses números complexos podem ser encontrados como as raízes da equação \( z^3 = 1 \). Sabemos que as raízes dessa equação representam os vértices de um triângulo equilátero no plano complexo, pois estão igualmente espaçadas ao longo do círculo unitário.
Portanto, a afirmação é corroborada tanto pela análise das distâncias quanto pela relação com as raízes da equação \( z^3 = 1 \). Assim, confirmamos que os números complexos de fato representam os vértices de um triângulo equilátero.
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