Questão FC86761
A respeito dos números complexos e de suas propriedades, julgue o item a seguir. |2z−1|2+2|z+z¯|2 = 3 Quando z = a+ib é um número complexo, então a equação define, no plano complex
Números Complexos
CEBRASPE (CESPE) · 2022
|2z−1|2+2|z+z¯|2 = 3
Quando z = a+ib é um número complexo, então a equação
define, no plano complexo, uma elipse com centro no ponto 
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A afirmação da questão está ERRADA devido a um erro na interpretação da equação dada. Vamos analisar a equação passo a passo.
Consideremos o número complexo \( z = a + ib \). Seu conjugado é \( \overline{z} = a - ib \). Portanto, a expressão \( z + \overline{z} \) resulta em \( z + \overline{z} = (a + ib) + (a - ib) = 2a \).
A equação fornecida é:
|(2z−1)|²+2|(z+z.¯)|² = 3.
Substituindo a expressão de \( z + \overline{z} \), temos:
\( |2z - 1|^2 + 2|2a|^2 = 3 \).
Agora, calculando \( |2z - 1| \), temos:
\( |2(a + ib) - 1| = |(2a - 1) + 2bi| \), assim:
\( |2z - 1|^2 = (2a - 1)^2 + (2b)^2 \).
Portanto, a equação se torna:
\( (2a - 1)^2 + 4b^2 + 8a^2 = 3 \).
Reorganizando, chegamos a uma expressão que, ao ser analisada, não descreve uma elipse no plano, mas sim uma curva que não se encaixa nas condições típicas que definiriam uma elipse.
Depois de fazer os cálculos e observações necessárias, fica claro que o centro dessa suposta elipse não é o ponto indicado, que deveria ser (1/2, 0), e sim outro ponto, o que confirma que a assertiva oferecida está equivocada. O verdadeiro centro, após calcular, é na verdade (1/6, 0). Portanto, está ERRADO.
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