A respeito dos números complexos e de suas propriedades, julgue o item a seguir. Se z =x +yi for um número complexo, então o conjunto solução da equação possuirá quatro elementos.

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comentário: Vamos analisar a equação dada, que envolve números complexos.

Seja \( z = x + yi \), onde \( x \) e \( y \) são números reais. A equação que estamos considerando é dada por:

\( \overline{z}^2 = 4z \)

Na forma exponencial, a representação de um número complexo é dada por:

\( z = r e^{i\theta} \)

onde \( r = |z| \) (módulo de \( z \)) e \( \theta \) é o argumento de \( z \).

O conjugado \( \overline{z} \) é então:

\( \overline{z} = r e^{-i\theta} \)

Substituindo na equação, temos:

\( (r e^{-i\theta})^2 = 4 (r e^{i\theta}) \)

Resolvendo, obtemos:

\( r^2 e^{-2i\theta} = 4r e^{i\theta} \)

Isso implica que:

\( r^2 = 4r \cdot e^{3i\theta} \)

Podemos considerar dois casos:

• Quando \( r = 0 \): Neste caso, temos a solução \( z = 0 \).
• Quando \( r \neq 0 \), podemos dividir ambos os lados por \( r \) e temos:

\( r = 4 \)

A partir de \( e^{-2i\theta} = e^{i\theta} \), podemos simplificar a equação:

\( -2\theta = \theta + 2k\pi \), onde \( k \) é um inteiro.

Resolvendo, obtemos:

\( 3\theta = 2k\pi \implies \theta = \frac{2k\pi}{3} \

Os valores principais de \( k \) que geram soluções diferentes no intervalo de \( 0 \) a \( 2\pi \) são \( k = 0, 1, 2 \), resultando em:

• \( \theta = 0 \)
• \( \theta = \frac{2\pi}{3} \)
• \( \theta = \frac{4\pi}{3} \)

Com isso, temos 3 soluções adicionais:

• Para \( \theta = 0 \), temos \( z = 4 \).
• Para \( \theta = \frac{2\pi}{3} \), temos \( z = 4 e^{i\frac{2\pi}{3}} \).
• Para \( \theta = \frac{4\pi}{3} \), temos \( z = 4 e^{i\frac{4\pi}{3}} \).

Assim, ao juntar as soluções, temos um total de quatro elementos no conjunto solução. Portanto, a afirmação é correta.

Gabarito: CERTO.