Com relação a tópicos de matemática, julgue o item que se segue. Considerando-se os números complexos em que i é a unidade imaginária, é correto afirmar que a multiplicação z1z2 re

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Comentário: Para entender por que a afirmação está ERRADA, precisamos analisar a multiplicação dos números complexos dados.

Os números complexos são representados na forma \( z = a + bi \), onde \( i \) é a unidade imaginária. Quando multiplicamos dois números complexos, o resultado geometricamente representa a multiplicação de seus módulos e a soma de seus argumentos (ângulos).

Neste caso, ao multiplicar \( z_1 \) e \( z_2 \), não sabemos os argumentos diretamente, mas podemos inferir que a multiplicação não corresponde a uma simples rotação de 30º, mas sim a uma rotação igual à soma dos ângulos de \( z_1 \) e \( z_2 \).

Por exemplo, se tivermos:
\( z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \) e \( z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \), onde \( r_1 \) e \( r_2 \) são os módulos e \( \theta_1 \) e \( \theta_2 \) são os argumentos dos números complexos, a multiplicação resulta em:
\[z_1 z_2 = r_1 r_2 \left( \cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2) \right)\]
Portanto, a nova rotação é na verdade \( \theta_1 + \theta_2 \), e não apenas uma rotação de \( 30^\circ \).

Se, por exemplo, os ângulos de \( z_1 \) e \( z_2 \) fossem \( 30^\circ \) e \( 45^\circ \), a rotação total seria \( 75^\circ \), reforçando que a afirmação inicial está equivocada.

Logo, a multiplicação \( z_1 z_2 \) não representa simplesmente a rotação de \( z_1 \) por \( 30^\circ \), mas assume um ângulo diferente, de acordo com a soma dos ângulos envolvidos no processo.

Por isso, a resposta correta é ERRADO.