Com base no Binômio de Newton, julgue o item a seguir. O coeficiente de x7 na expansão de (x2 + x + 1)5 é igual a 35.

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Comentário: A afirmação de que o coeficiente de \(x^7\) na expansão de \((x^2 + x + 1)^5\) é igual a 35 está ERRADA. Vamos entender por que isso acontece.

Para encontrar o coeficiente de \(x^7\), precisamos analisar como podemos obter essa potência a partir da combinação dos fatores presentes no binômio.

Na expansão de \((x^2 + x + 1)^5\), os termos que contribuem para \(x^7\) podem ser formados da seguinte forma:

• Três fatores de \(x^2\), um fator de \(x\) e um fator de \(1\): \(x^2 \cdot x^2 \cdot x^2 \cdot x \cdot 1\)
• Dois fatores de \(x^2\) e três fatores de \(1\): \(x^2 \cdot x^2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1\)
• Um fator de \(x^2\), um fator de \(x\) e três fatores de \(1\): \(x^2 \cdot x \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1\)

• Para a combinação com três fatores de \(x^2\) e um fator de \(x\): temos 5 elementos (os 5 fatores do binômio) com repetição de 3 de um tipo e 1 de outro. A fórmula para calcular isso é: \[ \frac{5!}{3! \cdot 1! \cdot 1!} = 20 \)
• Para a combinação com duas de \(x^2\) e três fatores de \(1\): \[ \frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10 \