Questão FC86769
Considerando que i seja a unidade imaginária, julgue o item a seguir, a respeito dos números complexos. O triângulo cujos vértices são as raízes do polinômio p(x) = x3 − 8x2 + 25x
Polinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal
CEBRASPE (CESPE) · 2021
O triângulo cujos vértices são as raízes do polinômio p(x) = x3 − 8x2 + 25x é um triângulo isósceles.
Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar as raízes do polinômio \( p(x) = x^3 - 8x^2 + 25x \) para compreender por que o triângulo formado por seus vértices é isósceles.
Primeiramente, podemos reescrever o polinômio:
\( p(x) = x(x^2 - 8x + 25) \) .
Ao igualar a função a zero, encontramos a primeira raiz:
\( x_1 = 0 \).
As outras raízes são obtidas resolvendo a equação quadrática \( x^2 - 8x + 25 = 0 \). Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:
\( \Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 \)
\( \Delta = 64 - 100 = -36 \).
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas e dadas por:
\( x_{2,3} = \frac{8 \pm \sqrt{-36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 6i}{2} = 4 \pm 3i \).
Assim, as raízes do polinômio são:
\( 0, \quad 4 + 3i, \quad 4 - 3i \).
Agora, vamos analisar a disposição dessas raízes no plano complexo:
- A raiz \( 0 \) está na origem (ponto \( (0, 0) \)). - As raízes \( 4 + 3i \) e \( 4 - 3i \) estão localizadas simetricamente em relação ao eixo real, em \( (4, 3) \) e \( (4, -3) \), respectivamente.
Essa simetria implica que os segmentos que ligam \( 0 \) a \( 4 + 3i \) e \( 0 \) a \( 4 - 3i \) têm o mesmo comprimento. Portanto, os lados que partem do vértice em \( 0 \) para os outros dois vértices são congruentes (têm o mesmo comprimento).
Em conclusão, como temos dois lados congruentes e um terceiro lado diferente, podemos afirmar que o triângulo formado pelos vértices \( 0 \), \( 4 + 3i \) e \( 4 - 3i \) é, de fato, um triângulo isósceles. Dessa forma, o gabarito está CERTO.
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em