Questão FC86771
Julgue o item a seguir, relativo a triângulos retângulos, funções trigonométricas e geometria analítica. Considere-se um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 10 cm e um de seus
Geometria Plana
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Considere-se um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 10 cm e um de seus ângulos internos θ seja tal que
Nesse caso, somando-se o valor do perímetro desse triângulo, em cm, com o valor de sua área, em cm2, obtém-se um resultado inferior a 50.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a questão passo a passo, considerando um triângulo retângulo com hipotenusa de 10 cm e onde a tangente do ângulo \( \theta \) é igual a \( \frac{\sqrt{3}}{3} \).
Primeiramente, sabemos que se \( \tan(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{3} \), então o ângulo \( \theta \) é \( 30^\circ \).
Em um triângulo retângulo com ângulo de \( 30^\circ \):
- O cateto oposto \( b \) pode ser encontrado usando a relação do seno: \[ \sin(30^\circ) = \frac{b}{10} \] Assim, temos: \[ \frac{1}{2} = \frac{b}{10} \implies b = 5 \, \text{cm} \]
- O cateto adjacente \( a \) pode ser encontrado usando a relação do cosseno: \[ \cos(30^\circ) = \frac{a}{10} \] Portanto: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{10} \implies a = 5\sqrt{3} \, \text{cm} \]
Agora que temos os lados do triângulo, vamos calcular:
- **Perímetro** do triângulo: \[ P = a + b + h = 5\sqrt{3} + 5 + 10 = 15 + 5\sqrt{3} \, \text{cm} \] - **Área** do triângulo: \[ A = \frac{1}{2} \times b \times a = \frac{1}{2} \times 5 \times 5\sqrt{3} = \frac{25\sqrt{3}}{2} \, \text{cm}^2 \]
Vamos somar o perímetro e a área: \[ S = P + A = (15 + 5\sqrt{3}) + \frac{25\sqrt{3}}{2} \] Para simplificar: \[ S = 15 + \frac{10\sqrt{3}}{2} + \frac{25\sqrt{3}}{2} = 15 + \frac{35\sqrt{3}}{2} \]
Agora, aproximando \( \sqrt{3} \approx 1,732 \): \[ S \approx 15 + \frac{35 \times 1,732}{2} \approx 15 + 30,27 \approx 45,27 \]
Por fim, verificamos que \( S < 50 \). Portanto, a afirmação está CERTA.
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