Julgue o item a seguir, relativo a triângulos retângulos, funções trigonométricas e geometria analítica. Se um triângulo retângulo possui lados cujos comprimentos são números intei

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comentário: Para entender por que a afirmação está CERTA, vamos analisar a situação de um triângulo retângulo com um cateto medindo 14 cm.

Seja \( a \) a medida do outro cateto, e \( c \) a medida da hipotenusa. De acordo com o Teorema de Pitágoras, temos a relação:

\( a^2 + 14^2 = c^2 \)

Rearranjando a equação, obtemos:

\( c^2 - a^2 = 196 \)

Dessa equação, podemos fatorar como:

\( (c + a)(c - a) = 196 \)

A próxima etapa é encontrar os fatores de 196. Os fatores inteiros que somam 196 são:

1. \( 1 \times 196 \)
2. \( 2 \times 98 \)
3. \( 4 \times 49 \)
4. \( 7 \times 28 \)
5. \( 14 \times 14 \)

Porém, precisamos considerar que tanto \( a \) quanto \( c \) devem ser números inteiros e, a soma \( c + a \) deve ser um número par (para que \( c \) e \( a \) sejam inteiros também). Assim, ficamos com as combinações que produzam uma soma par.

A única combinação válida para \( (c + a) \) e \( (c - a) \) que é par e resulta em números inteiros para \( a \) e \( c \) é:

1. \( 2 \times 98 \)

Fazendo os cálculos:

1. \( c + a = 98 \)
2. \( c - a = 2 \)

Resolvendo esse sistema de equações, temos:

• Somando as duas equações: \( 2c = 100 \) então \( c = 50 \)
• Subtraindo as equações: \( 2a = 96 \) então \( a = 48 \)