Questão FC86784
Considere três campos de exploração de petróleo, A, B e C, e v = (nA, nB, nC ) como um vetor em que as 3 coordenadas representam, respectivamente, as quantidades de poços de extraç
Geometria Analítica
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Com relação a essa situação hipotética, julgue o item a seguir.
Se |.|1 e|.|2 representarem, respectivamente, as normas L1 e L2 em R3, então 2.|u1 − u2|2 < |u2 - u1|1.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A assertiva em questão está ERRADA por conta da comparação entre as normas L1 e L2 dos vetores u1 e u2 e pela interpretação inadequada da desigualdade proposta.
Para entender melhor, é crucial relembrar como são definidas as normas L1 e L2 de um vetor.
A norma L1 para um vetor x = (x1, x2, x3) é dada por:
\[|x|_1 = |x_1| + |x_2| + |x_3|\]
Enquanto a norma L2 é calculada como a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
\[|x|_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}\]
Vamos aplicar essas definições aos vetores dados:
Considerando u1 = (4, 5, 4) e u2 = (5, 3, 2), podemos calcular:
- A diferença entre os vetores resulta em:
u1 - u2 = (4-5, 5-3, 4-2) = (-1, 2, 2)
u2 - u1 = (5-4, 3-5, 2-4) = (1, -2, -2)
Agora, calculamos as normas:
1. Para a norma L2 (do vetor u1 - u2):
\[|u_1 - u_2|_2 = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\]
2. Para a norma L1 (do vetor u2 - u1):
\[|u_2 - u_1|_1 = |1| + |-2| + |-2| = 1 + 2 + 2 = 5\]
Substituindo os valores na desigualdade proposta:
\[2 \cdot |u_1 - u_2|_2 = 2 \cdot 3 = 6\]
Por outro lado,
\[|u_2 - u_1|_1 = 5\]
Assim, ao avaliarmos:
\[6 < 5\]Essa desigualdade é falsa. Portanto,
concluímos que a assertiva original é realmente ERRADA. Isso mostra a importância de entender as propriedades de diferentes normas ao comparar vetores.
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