Considere que uma refinaria será construída na região plana rômbica compreendida entre as partes retas de um rio e de uma rodovia que se cruzam, determinadas pelos vetores a = (7,1

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comentário: Para analisar a questão, vamos determinar a área da região formada pelos vetores a = (7,1,0) e b = (1,7,0). Essa região é um paralelogramo, e sua área pode ser calculada utilizando o produto vetorial desses dois vetores.

A fórmula para calcular a área \(A\) do paralelogramo definido pelos vetores \(a\) e \(b\) é dada por:

\( A = ||a \times b|| \)

Primeiro, realizamos o cálculo do produto vetorial \(a \times b\):

\[a \times b = \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\7 & 1 & 0 \\1 & 7 & 0\end{vmatrix}\]

A partir do determinante, temos:

\[\hat{i}(1 \cdot 0 - 0 \cdot 7) - \hat{j}(7 \cdot 0 - 0 \cdot 1) + \hat{k}(7 \cdot 7 - 1 \cdot 1) = 0\hat{i} - 0\hat{j} + 48\hat{k} \]

Portanto, o resultado do produto vetorial é \( (0, 0, 48) \), e o módulo é:

\[||a \times b|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 48^2} = 48\]

Assim, a área do paralelogramo é \(A = 48\) km². Como 48 é de fato menor que 50, podemos concluir que:

A afirmação está CERTA.