Julgue o item subsequente, relativos a geometria. O ponto da circunferência x2 + y2 = 4 mais próximo da reta r: y = x + 4 é o ponto de coordenadas P(−2,0).

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A afirmação é ERRADO, porque o ponto mais próximo da reta não é P(−2,0).

A circunferência \(x^2+y^2=4\) tem centro em (0,0) e raio 2. A reta \(r:y=x+4\) tem coeficiente angular 1, logo a reta perpendicular que passa pelo centro tem coeficiente \(-1\) e equação \(y=-x\).

Interseção entre \(y=-x\) e a circunferência: \(x^2+(-x)^2=4\Rightarrow 2x^2=4\Rightarrow x=\pm\sqrt2\). Assim os pontos são \((\sqrt2,-\sqrt2)\) e \((-\sqrt2,\sqrt2)\). O mais próximo da reta é \((-\sqrt2,\sqrt2)\), que fica entre o centro e a reta.

Comparando distâncias, a distância do ponto dado P(−2,0) à reta é \(\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2\approx1{,}414\), já a menor distância possível é \(2\sqrt2-2\approx0{,}828\). Logo P(−2,0) não é o ponto mais próximo.