Questão FC86800
Uma forma de analisar uma economia em setores é por meio do modelo de Leontief. Esse modelo pode ser escrito na forma do sistema linear e em que C é uma matriz quadrada chamada de
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2022
e um vetor de demanda externa
, ambos com entradas positivas, julgue o item a seguir relacionados ao modelo econômico de Leontief.Os autovalores da matriz I - C serão reais e distintos se ( a + d )2 > 4( ad - bc ).
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: O modelo econômico de Leontief é uma ferramenta importante para analisar as interações entre diferentes setores de uma economia. Neste contexto, trabalhamos com a matriz de consumo C e um vetor de demanda externa d, conforme apresentado.
Ao considerarmos a matriz I - C, onde I é a matriz identidade, estamos interessados em calcular seus autovalores. Os autovalores são cruciais porque determinam o comportamento do sistema linear associado.
Para que os autovalores da matriz I - C sejam reais e distintos, precisamos garantir que o discriminante \( \Delta \) da equação característica seja positivo. Assim, se aplicarmos a fórmula quadrática, \( \Delta \) resulta na condição que está sendo julgada:
\[ (a + d - 2)^2 - 4(1 - a - d + ad - bc) > 0 \]
Simplificando, chegamos à condição:
\[ (a + d)^2 > 4(ad - bc) \]
Essa desigualdade é uma condição necessária para que tenhamos autovalores reais e distintos. A presença de entradas positivas na matriz C e no vetor d sugere que estamos tratando com condições reais dentro do modelo.
Portanto, a afirmação do item é CERTA, pois a condição dada garante que os autovalores da matriz I - C sejam realmente distintos e reais, permitindo uma análise confiável do modelo econômico de Leontief.
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