Questão FC86801
Com relação a cálculo diferencial e integral, julgue o item subsecutivo. Suponha que a produção mensal de uma fábrica seja dada pela função p = 3ℓK3, em que ℓ e K correspondem aos
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Suponha que a produção mensal de uma fábrica seja dada pela função p = 3ℓK3, em que ℓ e K correspondem aos custos de pessoal e do equipamento, respectivamente. Se a empresa deseja produzir uma quantidade p0 por mês, então os valores de ℓ e K que minimizam o custo total ℓ + K são
e 
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: O enunciado trata de um problema de otimização em cálculo diferencial e integral, onde devemos minimizar a função de custo total \( f(\ell, K) = \ell + K \) sob uma restrição de produção dada pela função \( g(\ell, K) = 3\ell K^3 \).
Para resolver esse problema, utilizamos o método dos multiplicadores de Lagrange. O objetivo é encontrar os valores de \( \ell \) e \( K \) que minimizam o custo total, mantendo a produção igual a \( p_0 \).
O primeiro passo é calcular os gradientes das funções:
\(\nabla f(\ell, K) = \langle 1, 1 \rangle\) e \(\nabla g(\ell, K) = \langle 3K^3, 9\ell K^2 \rangle\).
Igualando os gradientes usando um multiplicador \( \lambda \), obtemos duas equações relevantes:
\( 3\lambda K^3 = 1 \)
\( 9\lambda \ell K^2 = 1 \).
A partir dessas equações, podemos isolar \( \lambda \) e obter a relação entre \( K \) e \( \ell \). Quando igualamos os resultados das duas equações, encontramos que \( K = 3\ell \).
Agora, substituímos essa relação na restrição de produção, resultando na equação:
\( p_0 = 3\ell(3\ell)^3 = 27\ell^4 \).
Renomeando essa equação, obtemos \( \ell = \sqrt[4]{\frac{p_0}{27}} \). Usando a relação entre \( K \) e \( \ell \), encontramos \( K = \frac{p_0^{1/4}}{3^{3/4}} \).
Portanto, as expressões dadas para \( \ell \) e \( K \) que minimizam o custo são, de fato, corretas, confirmando que o gabarito está CERTO.
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