Questão FC86803
Com relação a cálculo diferencial e integral, julgue o item subsecutivo. Seja f(x) = x1,5 uma curva de Lorenz que representa a concentração de renda em um país. O índice de Gini é
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Seja f(x) = x1,5 uma curva de Lorenz que representa a concentração de renda em um país. O índice de Gini é dado pela integral
então, para o modelo dado, o índice de Gini é, G = 0,2.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a afirmação em questão sobre a curva de Lorenz e o índice de Gini.
A função dada é f(x) = x1,5, que representa a concentração de renda. Para calcular o índice de Gini, utilizamos a integral da forma:
\[ G = 2 \int_0^1 [x - f(x)] \, dx \]
Substituindo f(x), temos:
\[ G = 2 \int_0^1 \left( x - x^{1,5} \right) \, dx \]
Agora, podemos separar a integral em duas partes:
\[ G = 2 \int_0^1 x \, dx - 2 \int_0^1 x^{1,5} \, dx \]
Calculando a primeira integral:
\[ G_1 = \int_0^1 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} \]
Agora, para a segunda integral:
\[ G_2 = \int_0^1 x^{1,5} \, dx = \left[ \frac{x^{2,5}}{2,5} \right]_0^1 = \frac{1^{2,5}}{2,5} - \frac{0^{2,5}}{2,5} = \frac{1}{2,5} = 0,4 \]
Substituindo os valores encontrados na fórmula do índice de Gini:
\[ G = 2 \left( \frac{1}{2} - 0,4 \right) = 2 \left( 0,5 - 0,4 \right) = 2 \times 0,1 = 0,2 \]
Portanto, o índice de Gini para o modelo dado é G = 0,2, o que confirma que a afirmação está CERTA.
Resumindo, através do cálculo da integral envolvida, conseguimos demonstrar que o valor do índice de Gini, sendo 0,2, está correto e condizente com a representação da curva de Lorenz fornecida.
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