Questão FC86807
No que concerne à teoria de funções deriváveis de duas variáveis reais, julgue o item seguinte. Se P(x,y) = x3/y2 representa o consumo de gasolina em uma cidade em função do preço
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Se P(x,y) = x3/y2 representa o consumo de gasolina em uma cidade em função do preço y e da quantidade x de veículos da cidade, a taxa instantânea de variação do consumo quando y varia e x é mantido fixo é igual a x3/2y.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A afirmação é ERRADA porque a taxa instantânea de variação do consumo de gasolina \( P(x, y) \) em relação ao preço \( y \) deve ser calculada por meio da derivada parcial de \( P \) em relação a \( y \), mantendo \( x \) fixo.
Para resolver a derivada, temos:
\( P(x, y) = \frac{x^3}{y^2} \)
Quando derivamos \( P \) em relação a \( y \), devemos aplicar a regra da derivada das potências e tratar \( x \) como uma constante.
Usando a notação de derivada parcial, calculamos:
\( \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x^3}{y^2} \right) \)
Reescrevendo, temos:
\( = x^3 \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( y^{-2} \right) \)
Utilizando a regra da potência, obtemos:
\( \frac{\partial P}{\partial y} = x^3 \cdot (-2 y^{-3}) = -\frac{2 x^3}{y^3} \)
Portanto, ao avaliar a taxa de variação do consumo com relação ao preço \( y \) enquanto os veículos \( x \) permanecem constantes, encontramos que:
\( \frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{2x^3}{y^3} \), e não \( \frac{x^3}{2y} \) como sugerido na afirmação.
Assim, a fórmula apresentada na questão é incorreta, e a interpretação do derivado não seguiu a abordagem adequada para funções de duas variáveis. Portanto, a resposta correta é ERRADA.
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