Questão FC86810
Considere três campos de exploração de petróleo, A, B e C, e v = (nA, nB, nC ) como um vetor em que as 3 coordenadas representam, respectivamente, as quantidades de poços de extraç
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Com relação a essa situação hipotética, julgue o item a seguir.
Se e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) e
T : R3 → R3 é transformação linear que satisfaz
T(e1) = u1,T(e2) = u2, (e3) = u3,
então T(u1) = u2.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A afirmação de que T(u1) = u2 é ERRADO. Para entender o porquê, vamos analisar a transformação linear T dada:
A transformação linear T: R3 → R3 é definida pelas imagens dos vetores da base canônica: T(e1) = u1, T(e2) = u2, T(e3) = u3, onde:
- u1 = (4, 5, 4)
- u2 = (5, 3, 2)
- u3 = (3, 6, 4)
A matriz associada à transformação linear T pode ser representada como:
\[M_T = \begin{pmatrix}4 & 5 & 3 \\5 & 3 & 6 \\4 & 2 & 4\end{pmatrix}\]
Aqui, cada coluna representa a imagem dos vetores da base canônica. Para calcular T(u1), devemos aplicar a matriz MT ao vetor u1, ou seja, T(4, 5, 4). Na prática, essa operação significa encontrar uma combinação linear dos vetores u1, u2, e u3.
Porém, a operação T não é simplesmente aplicar a transformação a u1 para obter u2. A forma geral da transformação é muito mais complexa. Portanto, ao calcular, é esperado que T(u1) resulte em um vetor diferente de u2, o que confirma que a afirmação é ERRADA.
É importante compreender que transformações lineares envolvem a operação de vetores na matriz associada e não podem ser simplificadas a uma troca direta de valores. Assim, a operação não garante que a imagem de u1 seja exatamente u2.
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