Questão FC86815
Um estudo verificou que existe a seguinte relação entre custo de manutenção (variável X), custo de distribuição (variável Y) e valor total de revenda (variável Z), dada pela equaçã
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Sabendo que o conjunto S de todas as soluções (X,Y,Z) com coordenadas reais dessa equação é um subespaço vetorial do espaço euclidiano R3, e considerando R3 (isto é, < (a,b,c),(d,e,f) >= ad+be+cf), julgue o item que se segue.
O conjunto G = {(1,3,6),(1,2,1),(1,1−4)} de vetores em R3 gera o subespaço S.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para entender por que o conjunto G = \{(1,3,6), (1,2,1), (1,1,-4)\} gera o subespaço S definido pela equação 9X - 5Y + Z = 0, precisamos analisar as relações entre as coordenadas dos vetores em G e a equação que caracteriza S.
Um vetor qualquer em S é da forma (X,Y,Z) e deve satisfazer a equação mencionada. O desafio é descobrir se todos esses vetores podem ser expressos como uma combinação linear dos vetores em G.
Isso significa encontrar constantes reais c1, c2 e c3 para que:
(X,Y,Z) = c1(1,3,6) + c2(1,2,1) + c3(1,1,-4).
Podemos reescrever essa expressão em forma matricial:
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix}
O próximo passo é realizar operações para escalonar essa matriz e simplificar o sistema.
O que se busca é que o sistema seja consistente, ou seja, que a equação 9X - 5Y + Z = 0 seja satisfeita no final do processo. A partir de escalonamentos adequados, garantimos que essa equação sempre será atendida para os vetores que formam o conjunto S, indicando que qualquer vetor em S pode ser alcançado usando os vetores de G.
Geometricamente, a equação 9X - 5Y + Z = 0 representa um plano no espaço R3, e todos os vetores que pertencem a S estão situados nesse plano. Assim, conseguimos concluir que G realmente gera o subespaço S, que é o que o gabarito aponta como CERTO.
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