Questão FC86816
Um estudo verificou que existe a seguinte relação entre custo de manutenção (variável X), custo de distribuição (variável Y) e valor total de revenda (variável Z), dada pela equaçã
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Sabendo que o conjunto S de todas as soluções (X,Y,Z) com coordenadas reais dessa equação é um subespaço vetorial do espaço euclidiano R3, e considerando R3 (isto é, < (a,b,c),(d,e,f) >= ad+be+cf), julgue o item que se segue.
Os vetores (0,1,5) e (1,1,−4) pertencem a S e são linearmente independentes.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: A equação fornecida, 9X - 5Y + Z = 0, define um subespaço vetorial S dentro de R3. Para determinar se os vetores (0, 1, 5) e (1, 1, -4) pertencem a S, devemos verificar se eles satisfazem a equação.
Calculando para o vetor (0, 1, 5):
\[9 \cdot 0 - 5 \cdot 1 + 5 = 0\]E para o vetor (1, 1, -4):
\[9 \cdot 1 - 5 \cdot 1 - 4 = 0\]Ambos os vetores satisfazem a equação, portanto, (0, 1, 5) e (1, 1, -4) pertencem a S.
Para determinar a independência linear, vamos considerar a combinação linear c1(0, 1, 5) + c2(1, 1, -4) = (0, 0, 0). Montamos o seguinte sistema de equações:
\[\begin{align*}c_1 \cdot 0 + c_2 \cdot 1 &= 0 \\c_1 \cdot 1 + c_2 \cdot 1 &= 0 \\c_1 \cdot 5 + c_2 \cdot (-4) &= 0 \\\end{align*}\]
Da primeira equação, obtemos que c2 = 0. Substituindo na segunda, temos:
\[c_1 = 0\]E na terceira equação, ela se torna:
\[c_1 \cdot 5 = 0\]Portanto, c1 = 0 também.
Assim, a única solução para a combinação linear é c1 = 0 e c2 = 0, o que nos mostra que os vetores são, de fato, linearmente independentes. Portanto, confirmamos que o item está CERTO.
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