Julgue o item que se segue, a respeito do método numérico de Newton-Raphson, utilizado em engenharia. A partir da fórmula iterativa do método de Newton-Raphson, uma aproximação ini

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Comentário:
O item está ERRADO porque o método de Newton-Raphson gera uma nova aproximação a partir de uma dada aproximação inicial, e no caso em questão, estamos utilizando \( x_0 = 6 \) para a função \( f(x) = x^2 - 4 \).

Primeiro, precisamos calcular a derivada da função:

\[f'(x) = 2x\]

Então, aplicamos a fórmula de iteração do método de Newton-Raphson, que é:

\[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]

Substituindo a função e sua derivada na fórmula de iteração, obtemos:

\[x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 4}{2x_n}\]

Agora, vamos substituir \( x_0 = 6 \):

\[x_1 = 6 - \frac{6^2 - 4}{2 \cdot 6} = 6 - \frac{36 - 4}{12} = 6 - \frac{32}{12}\]

Reducindo a fração:

\[x_1 = 6 - \frac{8}{3} = 6 - 2.67 \approx 3.33\]

Portanto, o valor de \( x_1 \) resulta em aproximadamente 3.33, que é inferior a 4. Logo, a afirmação de que o valor de \( x_1 \) é superior a 4 está incorreta.

Assim, a conclusão final é que o item julgado está ERRADO.