Questão FC86821
No plano cartesiano Oxy da figura precedente, estão marcados 8 pontos distintos no primeiro quadrante, cujas coordenadas são: A = (1,a); B = (1,b); C = (1,c); D = (1,d); E = (2,e);
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2022
No plano cartesiano Oxy da figura precedente, estão marcados 8 pontos distintos no primeiro quadrante, cujas coordenadas são:
A partir dos dados apresentados, julgue o item subsequente.
A matriz quadrada 2 x 2 cujos vetores linha são dados pelos vetores OB e OF possui determinante nulo se, e somente se, f = 2b .
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Os vetores de posição relativos à origem são \(OB=(1,b)\) e \(OF=(2,f)\). A matriz 2x2 cujas linhas são esses vetores é \(\begin{pmatrix}1 & b\\[2pt]2 & f\end{pmatrix}\).
O valor do determinante dessa matriz é dado por \( \det = 1\cdot f - 2\cdot b = f-2b\). Portanto, o determinante é zero exatamente quando \(f-2b=0\), ou seja, quando \(f=2b\).
Geometricamente, \(\det=0\) significa que os vetores são linearmente dependentes, ou seja, colineares. Se existe escalar \(k\) tal que \(OF=k\,OB\), então das componentes segue \(2=k\cdot1\Rightarrow k=2\) e \(f=k\cdot b\Rightarrow f=2b\). Isso mostra a equivalência necessária e suficiente, justificando o item como CERTO.
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