Questão FC86822
Cada alvéolo de uma colmeia é formado por um prisma hexagonal regular de lado fixo R encimado por três trapézios idênticos que se encontram em um vértice comum. Observe as figuras
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Com base nessas informações, julgue o item seguinte.
Utilizando-se uma aproximação quadrática para cosθ, obtém-se, para a equação
, a seguinte solução positiva.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: A questão aborda a aproximação quadrática da função trigonométrica \( \cos(\theta) \), que é uma ferramenta útil quando precisamos estimar o comportamento da função próxima de um ponto, neste caso, para \( \theta = 0 \).
Para realizarmos essa aproximação, utilizamos a série de Taylor até a segunda ordem. A série de Taylor para a função \( f(\theta) = \cos(\theta) \) em torno de \( \theta = 0 \) é dada por:
\( f(\theta) \approx f(0) + f'(0)\theta + \frac{f''(0) \cdot \theta^2}{2} \)
Calculamos as derivadas da função:\
- A primeira derivada: \( f'(\theta) = -\sin(\theta) \) \\ - A segunda derivada: \( f''(\theta) = -\cos(\theta) \)
Substituindo \( \theta = 0 \) nas derivadas temos:
- \( f(0) = \cos(0) = 1 \)
- \( f'(0) = -\sin(0) = 0 \)
- \( f''(0) = -\cos(0) = -1 \)
Portanto, a aproximação se torna:
\( \cos(\theta) \approx 1 - \frac{\theta^2}{2} \)
Agora, a equação dada \( \cos(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{3} \) é estabelecida e substituímos a aproximação quadrática:
\( 1 - \frac{\theta^2}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)
Rearranjando, temos:
\( \frac{\theta^2}{2} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \)
E com isso, isolando \( \theta^2 \):
\( \theta^2 = 2\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) \)
Daqui, podemos calcular \( \theta \):
\( \theta = \sqrt{2\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)} \)
Assim, ao encontrarmos a solução positiva, isso confirma que a solução descrita na questão é correta. Portanto, o gabarito é CERTO.
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