Questão FC86823
Cada alvéolo de uma colmeia é formado por um prisma hexagonal regular de lado fixo R encimado por três trapézios idênticos que se encontram em um vértice comum. Observe as figuras
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Com base nessas informações, julgue o item seguinte.
Quando o ângulo θ cresce se aproximando de 90º, a área total da superfície do alvéolo tende a infinito.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A afirmação de que a área total da superfície do alvéolo tende a infinito quando o ângulo θ se aproxima de 90º é ERRADA por algumas razões fundamentais.
Quando analisamos a função que representa a área total da superfície, precisamos observar o que acontece com os termos principais à medida que θ se aproxima de 90º. Em especial, os valores de \(\cotg(θ)\) e \(\cossec(θ)\) têm um papel crucial.
Quando θ se torna exatamente 90º, temos:
- \(\cotg(90^\circ) = 0\)
- \(\cossec(90^\circ) = 1\)
Isso significa que, conforme θ se aproxima de 90º, a área não tende a infinito como sugere o enunciado, mas sim a um valor específico.
Ao calcular o limite da área total da superfície S(θ) quando θ se aproxima de 90º, obtemos:
\[\lim_{{θ \to 90^\circ}} S(θ) = \frac{4\sqrt{3}}{3} V/R + \frac{3\sqrt{3}}{2} R^2\] Este resultado é finito e indica que a área total da superfície atinge um valor máximo, mas não infinito.
Assim, a área total se estabiliza em um certo ponto e não cresce indefinidamente. Portanto, a afirmação original é equivocada ao sugerir um comportamento assintótico de tendência ao infinito. É essencial ter essa clareza para interpretações corretas no contexto de problemas de geometria e cálculo de áreas.
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