Questão FC86824
Cada alvéolo de uma colmeia é formado por um prisma hexagonal regular de lado fixo R encimado por três trapézios idênticos que se encontram em um vértice comum. Observe as figuras
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Com base nessas informações, julgue o item seguinte.
A área do total da superfície do alvéolo é mínima somente quando
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: A afirmação de que a área total da superfície do alvéolo é mínima quando \(\theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\) está CERTA devido ao seguinte raciocínio:
Para encontrar o valor de \(\theta\) que minimiza a função da área total da superfície \(S(\theta)\), precisamos determinar o ponto onde a derivada \(S'(\theta)\) é igual a zero. Isso indica que estamos em um ponto crítico, que pode ser um mínimo, máximo ou ponto de inflexão.
As funções que envolvem \(\cot \theta\) e \(\csc \theta\) exigem que façamos uso de suas derivadas. Estudando as derivadas, obtemos:
\(s'(\theta) = -\frac{3}{2}R^2\left(-\frac{1}{\sin^2 \theta}\right) + \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2\left(-\frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\right)\)
Isso se simplifica e, ao igualar a expressão resultante a zero, obtemos:
\(-\frac{3}{2}R^2\left(-\frac{1}{\sin^2 \theta}\right) + \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2\left(-\frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\right) = 0\)
Após uma série de simplificações, chegamos na condição crucial:
\(\sqrt{3} \cos \theta = 1\)
Assim, encontramos:
\(\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
Portanto, o ângulo \(\theta\) que minimiza a área é \(\theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\). Isso confirma que a área total da superfície do alvéolo é efetivamente mínima nesse valor de \(\theta\).
Consequentemente, a afirmação é CERTA e se sustenta com as propriedades da derivada e otimização de funções.
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