Considere β e μ e dois números positivos a um número real qualquer e as funções dadas a seguir. Com base nessas informações, julgue o próximo item. A integral definida de fβ (x−a)

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Comentário: Vamos analisar a função f_β(x−a) e a integral definida sobre a reta real.

A função f_β(x−a) é definida como:

f_β(x−a) = \begin{cases} \frac{1}{2β}, & \text{se } a−β < x < a+β \\0, & \text{caso contrário} \end{cases}

Isso significa que a função tem valores diferentes de zero apenas no intervalo (a−β, a+β). Agora, para calcular a integral definida de f_β(x−a) sobre toda a reta real, precisamos focar apenas na parte onde a função é diferente de zero:

\(\int_{-\infty}^{+\infty} f_β(x−a) \, dx = \int_{a−β}^{a+β} f_β(x−a) \, dx\)

Substituindo a função, temos:

\(\int_{a−β}^{a+β} \frac{1}{2β} \, dx\)

Calculando essa integral:

\(\frac{1}{2β} \int_{a−β}^{a+β} dx = \frac{1}{2β} \cdot (a + β - (a - β)) = \frac{1}{2β} \cdot (2β) = 1\)

Assim, a integral definida de f_β(x−a) sobre a reta real resulta em 1, e não 2β como afirmado na questão.

Portanto, a afirmação de que a integral definida de f_β(x−a) sobre a reta real é igual a 2β está ERRADA.