Questão FC86826
Considere β e μ e dois números positivos a um número real qualquer e as funções dadas a seguir. Com base nessas informações, julgue o próximo item. A transformada de Fourier da fun
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Com base nessas informações, julgue o próximo item.
A transformada de Fourier da função h(t) = cos(at) é uma função F(w) dada por uma combinação linear de f(w − a) e f(w + a)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos entender a afirmativa sobre a transformada de Fourier da função h(t) = cos(at) e porque ela é correta.
Primeiramente, a transformada de Fourier de uma função h(t) é definida como:
\( F(w) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-iwt} dt \)
Para a função cos(at), podemos usar a seguinte relação:
\( cos(at) = \frac{e^{iat} + e^{-iat}}{2} \)
Substituindo essa relação na integral, temos:
\( F(w) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{iat} + e^{-iat}}{2} e^{-iwt} dt \)
Separando a integral e removendo a constante, ficamos com:
\( F(w) = \frac{1}{2} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i(w-a)t} dt + \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i(w+a)t} dt \right] \)
As integrais que surgem são conhecidas e resultam na função delta de Dirac: δ(w), que é a caracterização de um impulso.
Como resultado, temos:
\( F(w) = \frac{1}{2} \left( \delta(w-a) + \delta(w+a) \right) \)
Isso indica que F(w) é uma combinação linear das funções f(w-a) e f(w+a). Essa combinação é exatamente o que afirmamos anteriormente: a transformada de Fourier de h(t) = cos(at) é uma combinação de f(w-a) e f(w+a), o que confirma que a afirmativa está CERTA.
Portanto, a transformada de Fourier representa a decomposição da função cos(at) em duas "ondas" ou picos localizados em w = a e w = -a.
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