Questão FC86828
Considere β e μ e dois números positivos a um número real qualquer e as funções dadas a seguir. Com base nessas informações, julgue o próximo item. A transformada de Fourier H(w) d
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Com base nessas informações, julgue o próximo item.
A transformada de Fourier H(w) da função h(t) possui parte imaginária nula.
Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: A afirmação de que a transformada de Fourier \( H(w) \) da função \( h(t) \) possui parte imaginária nula é CERTA. Isso pode ser demonstrado a partir da definição da transformada de Fourier e da natureza da função \( h(t) \).
Consideramos a função \( h(t) \) definida como:
\( h(t) = \begin{cases} e^{\mu t} & \text{se } t < 0 \\ e^{-\mu t} & \text{se } t > 0 \end{cases} \)
Para calcular a transformada, utilizamos a fórmula:
\( H(w) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-iwt} dt \)
Podemos dividir essa integral em duas partes, uma para \( t < 0 \) e outra para \( t > 0 \):
\( H(w) = \int_{-\infty}^{0} e^{\mu t} e^{-iwt} dt + \int_{0}^{\infty} e^{-\mu t} e^{-iwt} dt \)
Calculemos cada parte separadamente:
1. Para \( t < 0 \):
\( \int_{-\infty}^{0} e^{\mu t} e^{-iwt} dt = \int_{-\infty}^{0} e^{t(\mu - iw)} dt \)
2. Para \( t > 0 \):
\( \int_{0}^{\infty} e^{-\mu t} e^{-iwt} dt = \int_{0}^{\infty} e^{t(-\mu - iw)} dt \)
Após calcular essas integrais, encontramos que ambas resultam em números reais, levando à forma:
\( H(w) = \frac{1}{\mu - iw} + \frac{1}{-\mu - iw} \)
Realizando simplificações, podemos ver que:
\( H(w) = \frac{1}{\mu - iw} + \frac{1}{\mu + iw} = \text{número real} \)
Portanto, como o resultado final de \( H(w) \) é um número real, concluímos que a parte imaginária \( \text{Im}(H(w)) = 0 \). Assim, reafirmamos que a transformada de Fourier \( H(w) \) da função \( h(t) \) realmente possui parte imaginária nula, confirmando a afirmação inicial.
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em