Questão FC86830
Considere β e μ e dois números positivos a um número real qualquer e as funções dadas a seguir. Com base nessas informações, julgue o próximo item. A transformada de Fourier H(w) d
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Com base nessas informações, julgue o próximo item.
A transformada de Fourier H(w) da função h(t) possui parte real igual a Re (H(w)) = 2μ/(μ2 +w2).
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: A afirmativa de que a transformada de Fourier \( H(w) \) da função \( h(t) \) possui parte real igual a Re(H(w)) = \frac{2\mu}{\mu^2 + w^2} está CERTA. Vamos entender como chegamos a essa conclusão.
Primeiramente, a função \( h(t) \) é definida da seguinte maneira:
- Para \( t < 0 \): \( h(t) = e^{\mu t} \)
- Para \( t > 0 \): \( h(t) = e^{-\mu t} \)
A transformada de Fourier de uma função \( f(t) \) é dada pela fórmula:
\[F\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-iwt} dt\]Apliquemos essa definição à função \( h(t) \):
A transformada \( H(w) \) será a soma das transformadas das duas partes:
\[H(w) = \int_{-\infty}^{0} e^{\mu t} e^{-iwt} dt + \int_{0}^{\infty} e^{-\mu t} e^{-iwt} dt\]Resolvendo cada integral:
Para a parte \( t < 0 \):
\[\int_{-\infty}^{0} e^{t(\mu - iw)} dt\]A integral converge e temos:
\[\frac{1}{\mu - iw} \bigg|_{-\infty}^{0} = \frac{1}{\mu - iw}\]Para a parte \( t > 0 \):
\[\int_{0}^{\infty} e^{t(-\mu - iw)} dt\]Novamente, a integral converge e resulta em:
\[\frac{1}{-\mu - iw} \bigg|_{0}^{\infty} = \frac{1}{-\mu - iw} = -\frac{1}{\mu + iw}\]Juntando as duas partes:
\[H(w) = \frac{1}{\mu - iw} - \frac{1}{\mu + iw}\]Somando as frações, obtemos:
\[H(w) = \frac{(\mu + iw) - (\mu - iw)}{(\mu - iw)(\mu + iw)} = \frac{2iw}{\mu^2 + w^2}\]Por fim, a parte real de \( H(w) \) é:
\[\text{Re}(H(w)) = \frac{2\mu}{\mu^2 + w^2}\]Assim, a afirmação é devidamente confirmada. Portanto, a parte real da transformada de Fourier \( H(w) \) realmente é igual a Re(H(w)) = \frac{2\mu}{\mu^2 + w^2}.
Dessa forma, a assertiva está CERTA.
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