Questão FC86832
Julgue o próximo item, relativo a sequências de números reais. Se (an) for uma sequência de números reais, de forma que então a sequência (an) converge.
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Se (an) for uma sequência de números reais, de forma que
então a sequência (an) converge.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: O enunciado afirma que, se a sequência \((a_n)\) satisfaz a condição \(\lim_{n \to \infty} |a_{3n} - a_{2n}| \leq \frac{1}{n^2}\), então essa sequência converge. No entanto, isso não é necessariamente verdadeiro.
Para ilustrar, consideremos a sequência \((b_n)\) definida como b_n = (-1)^n/n. Esta sequência tende a zero, mas se analisarmos as diferenças, obtemos:
|b_{3n} - b_{2n}| = \left| \frac{(-1)^{3n}}{3n} - \frac{(-1)^{2n}}{2n} \right| = \left| \frac{(-1)^{3n}}{3n} + \frac{1}{2n} \right|.
Dependendo de \(n\), os termos de b_{3n}\ e b_{2n}\ podem ser positivos ou negativos, e suas diferenças não se comportam de forma regular. Assim, podemos observar que mesmo com a diferença limitada por um termo que diminui rapidamente, como \( \frac{1}{n^2} \), a sequência pode não convergir.
Portanto, o exemplo da sequência \((b_n)\) nos mostra que, apesar de satisfazer a condição dada, a sequência não converge. Isso demonstra que a afirmação do item está ERRADA.
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