Questão FC86833
Julgue o próximo item, relativo a sequências de números reais. F b = n+1 Sendo Fn sequência de Fibonacci, a sequência (bn), em que , converge para um número maior que 1,5.
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2022
F b = n+1 Sendo Fn sequência de Fibonacci, a sequência (bn), em que
, converge para um número maior que 1,5.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Nesta questão, estamos analisando a sequência \( (b_n) \) definida pela relação:
\( b_n = \frac{F_{n+1}}{F_n} \), onde \( F_n \) é a sequência de Fibonacci.
A sequência de Fibonacci é gerada pela relação:
\( F_0 = 0, F_1 = 1 \) e \( F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \) para \( n \geq 2 \).
Para entender a convergência da razão \( b_n \), precisamos observar o que acontece com os termos dessa sequência quando \( n \) aumenta. É um resultado bem conhecido na teoria das sequências que a razão entre dois termos sucessivos da sequência de Fibonacci converge para a razão áurea, que é matematicamente representada por \( \phi \). Essa razão é dada por:
\(\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.6180339887\ldots\)Ao fazermos o limite:
\(\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \phi\)Assim, sabemos que \( \phi \) é claramente maior que 1,5.
Portanto, a afirmativa de que a sequência \( (b_n) \) converge para um número maior que 1,5 é CERTA. Essa relação é uma demonstração da beleza presente nas sequências numéricas e suas propriedades.
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