Considere as funções f, g, h e k apresentadas a seguir. A respeito dessas funções, julgue o item que se segue. A função h é sempre positiva.

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comentário: Vamos analisar a função h(x) = e^x - \ln(x) para determinar se ela é sempre positiva.

1. Primeiro, observamos que a função e^x, que é a função exponencial, é sempre positiva para todo x \in \mathbb{R}. Assim, temos que e^x > 0 para qualquer valor de x.

2. Em relação à função ln(x), que é o logaritmo natural, ela só é definida para x > 0. Além disso:

• Quando 0 < x < 1, temos que \ln(x) < 0.
• Para x = 1, \ln(1) = 0.
• Quando x > 1, \ln(x) > 0.

3. Agora, vamos avaliar as somas dentro da função h(x):

• Para 0 < x < 1:
  Temos que w(x) = e^x - \ln(x) é a diferença de uma função positiva (e^x) e uma função negativa (ln(x)). Portanto, h(x) > 0.
• Para x = 1:
  Temos que h(1) = e^1 - \ln(1) = e - 0 > 0.
• Para x > 1:
  Aqui, a função e^x cresce muito mais rapidamente do que ln(x). Para avaliar o comportamento de h(x), consideramos as derivadas:
• A taxa de crescimento de e^x é dada por e^x e a taxa de crescimento de ln(x) é dada por 1/x. Como e^x cresce exponencialmente, enquanto 1/x diminui, podemos concluir que a função h(x) = e^x - \ln(x) será maior que zero para x > 1.

Conclusão: Assim, após analisarmos a função em diferentes intervalos, conclui-se que a função h(x) é sempre positiva em seu domínio (0, \infty).

Portanto, a afirmação de que "a função h é sempre positiva" está CERTA.