Questão FC86836
A respeito de sequências numéricas, julgue o item que se seguem, considerando, para cálculos, que 1,0110=1,1. Considere a sequência de Fibonacci definida recursivamente como Fn+1 =
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2021
Considere a sequência de Fibonacci definida recursivamente como Fn+1 = Fn + Fn-1, para n ≥ 2, em que F1 = 1 e F2 = 1. Supondo-se que o limite
exista, então o valor do limite é 
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: O item apresentado está ERRADO por razões claras relacionadas ao comportamento da sequência de Fibonacci. Vamos entender isso de forma didática.
Primeiro, definimos a sequência de Fibonacci recursivamente como:
Fn+1 = Fn + Fn-1, para n ≥ 2, com F1 = 1 e F2 = 1. Isso implica que todos os termos, Fn, são sempre positivos para n ≥ 1.
A questão busca o limite da razão entre termos subsequentes da sequência, dado por:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} \). Utilizando a definição da sequência, temos:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{F_n + F_{n-1}}{F_n} \implies L = 1 + \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n-1}}{F_n} \).
Com isso, podemos reescrever:
Seja:
\( L = 1 + \frac{1}{L} \).
Reorganizando a equação, obtemos:
\( L^2 - L - 1 = 0 \).
Resolvendo essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
\( \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5 \).
Isso nos dá duas soluções:
\( L = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \).
Dentre essas soluções, \( L = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \) é negativa, o que é impossível, visto que todos os termos da sequência de Fibonacci são positivos. Portanto, a única solução válida é:
\( L = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \), que é o número de ouro, aproximadamente 1,618.
Resumindo, o valor do limite mencionado no item é uma construção que inclui um número negativo, portanto, está errado.
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